En el artículo se presentan algunas investigaciones del autor sobre la relación existente entre el lenguaje y las matemáticas. Gran parte de su trabajo se centra en el campo de las representaciones utilizadas en uno de los conceptos básicos de las matemáticas: los números.
The article presents research conducted by the author on the relationship between language and mathematics. In particular, a significant part of his work focuses on the representations used in a basic mathematical concept: numbers.
Dominamos el
lenguaje de los símbolos y, por tanto, podemos referirnos a los símbolos de las
matemáticas, que se combinan entre sí formando un lenguaje. Pero ésta no es la
parte más profunda de las matemáticas; si podemos manipularlas se debe a que
disponemos de unos cimientos que lo facilitan: las representaciones no
verbales.
¿Qué son las matemáticas? Quisiera
establecer unas notas aportadas por algunos matemáticos en relación al concepto
de las matemáticas. Albert Einstein, por ejemplo, apuntó la idea de que las
matemáticas no requieren, en algunos aspectos, creación de lenguaje.
Las palabras en el
lenguaje, tanto escritas como habladas, no se refieren únicamente a un proceso
de las entidades psicológicas que se imponen ya que también podemos reproducir
y recombinar el pensamiento y las imágenes. Los objetos de conceptos
matemáticos no se representan en palabras sino en un formato más conceptual.
De forma muy limitada,
existe una representación mental que va más allá de la palabra determinada.
Estos puntos los subrayó el físico francés Poincaré,
uno de los principales matemáticos del siglo xix.
«Ha habido mucho proceso inconsciente en las matemáticas y lo más sorprendente
es la aparición de una repentina iluminación, la manifestación inconsciente y
el papel que representan las matemáticas, que es incontestable e irrefutable»,
afirmaba Poincaré. A escala de las matemáticas
sencillas, tenemos acceso a una representación mental del número, aunque se
trate de accesos semánticos bastante inconscientes. En este trabajo me referiré
al sentido del número no verbal y al sentido de las cantidades que se
representan en formato no verbal, e intentaré demostrar que existe, en esta representación,
una relación entre la parte derecha, izquierda e interparietal del cerebro, que
son los cimientos de la intuición numérica y que se presentan en un estadio muy
temprano del desarrollo de la persona.
Una de las cuestiones
que desarrollaremos en este artículo es la digresión sobre la consciencia y
sobre cómo podemos tener acceso a representaciones de manera inconsciente.
Además, trataremos aspectos adicionales que se añaden al lenguaje de las
matemáticas. Comenzamos con la cantidad no verbal representativa. En este
sentido, debemos señalar que el lenguaje complementa la representación de una
manera aproximada y recordar que estamos empezando a conocer algunas cosas
sobre las interacciones de las representaciones verbales y no verbales de los
números en el cerebro. También veremos cómo las lesiones cerebrales afectan a
estas representaciones.
En nuestros estudios
hemos observado la comparación con el número 65. Imaginemos que nos dan unos
números, que deberán ser mayores o menores al que tomamos como referencia. Si
hacemos este experimento durante un tiempo veremos que se produce una
determinada condición psicofísica. La reacción que nos hace decidir por un
determinado número responde a una función logarítmica de la distancia entre los
números, ya que es más fácil saber cuándo el número está lejos, por ejemplo el
99, que cuándo está cerca. Esto significa que si miramos los propios números no
hay nada en su forma que nos indique que están lejos. Esta distancia
paramétrica, que es la que impulsa la reacción, no está presente en la forma
superficial, sino que se reconstruye internamente en el cerebro del sujeto.
Los argumentos que
quisiera presentar aquí están relacionados con la existencia de una conversión
mental en esta área del cerebro que, de manera natural, empieza en la retina,
cuando se visualiza el número. Automáticamente,
se realiza una conversión mental de esta representación cuantitativa. El sujeto
identifica el número y es capaz entonces de saber si es superior o inferior a
la cifra presentada como referencia, en este caso el 65.
Algunos
investigadores consideran que las imágenes cerebrales tratan de localizar
procesos en el cerebro. Pero esto no es únicamente así. Lo que interesa es
poder ver el tipo de representaciones que tenemos. Utilizamos las imágenes
cerebrales para ver la representación de formato y para ver lo que se está
representando en una cifra binaria y no quedarnos sólo en la forma.
Existen áreas
cerebrales en las que aumenta el flujo de manera proporcional a las distancias
semánticas comentadas anteriormente. Podemos ver que en las zonas de los
círculos intraparietales la activación es bilateral. Estas regiones podrían
estar relacionadas con la representación de la cantidad, que va asociada al
número. La conducta muestra que los números están escritos en representación
arábiga, en cifras o en letras. Por ejemplo, cuando se realiza el cambio de
representación en letras, las palabras reaccionan más lentamente en esta
distancia semántica ya que son más largas. Pero, independientemente de esta
connotación, existe una distancia semántica, y los números que están más cerca
son más fáciles de identificar, mientras que la identificación de los números
más lejanos resulta más difícil.
Este efecto
adicional muestra que la operación de la conversión funciona en ambos casos y
que, al final, acaba con una representación cuantitativa, que es independiente
de si se representan símbolos en palabras o en letras. Si analizamos el
experimento y las imágenes cerebrales, podemos ver en el cerebro aquellas áreas
en las que se refleja el efecto de la distancia semántica en los círculos
intraparietales, el hemisferio izquierdo y el hemisferio derecho. Así pues, creemos
que no se trata sólo del símbolo sino que va más allá. Se trata de las
diferencias entre las cantidades, es decir, el significado que subyace a las
cantidades.
Una de las
conclusiones a las que llegamos tras realizar esta operación es que el número
oculto se asocia al número de la palabra. Esto significa que el número se
procesa inconscientemente y por eso se obtiene una respuesta determinada.
Cuando aparece un número existe una reducción en el tiempo de respuesta. Esto
sugiere que los sujetos comparan el número oculto que no pueden ver con el
número de referencia 5. Miramos de nuevo la imagen cerebral y vemos que es el
córtex motriz el que se activa.
Si analizamos la
imagen cerebral y situamos los electrodos en la parte motriz derecha e
izquierda del córtex, podremos recoger una señal sensible a la preparación. Con
esto, obtendremos un índice en función del tiempo, que será más positivo a
medida que el sujeto va preparando la respuesta con la parte derecha.
Se trata de una
cadena sorprendente que hace que la reacción sea inconsciente y muy rápida. El
estudio ha recibido algunas críticas, que consideran que puede existir una
respuesta más sencilla. Algunos investigadores afirman, además, que es posible
que no se pase por toda la cadena del proceso mental, sino que sencillamente se
salte la cantidad y la comparación. Así, el formato
del símbolo no es tan importante como el significado de la cantidad.
¿Qué distingue el
procesamiento consciente del inconsciente referido a los números? En este tipo
de comparación tenemos un proceso mental del que no somos conscientes. El
dígito está en la retina y lo identificamos en las áreas temporales. A partir
de aquí se desarrolla la representación cuantitativa en el surco parietal, que
pasa después al córtex. Este proceso no tiene por qué ser consciente. En el
estudio realizado con el doctor Lionel Naccache,1 llegamos
a la conclusión de que se produce una activación muy encapsulada. Los
resultados del estudio indicaron que cuando se lleva a cabo un esfuerzo, la
única diferencia con el consciente es la amplificación en el córtex parietal;
aunque también observamos activación adicional en el prefrontal izquierdo y
derecho.
La idea es que estas
conexiones en las regiones prefrontales son elementos importantes y cruciales
del esfuerzo consciente. El proceso consciente es posible si existen otros que
se activan automáticamente en forma de cadena y se pueden tener varias cadenas
de procesadores activadas al mismo tiempo. La idea es que a este elevado nivel
tenemos un grado de conectividad fuerte a larga distancia, lo que nos permite
conectar procesos en la categorización conceptual, memoria a largo plazo,
evaluación y procesos afectivos. La activación que llega a este nivel, donde
hay movilización y comunicación intensa entre diferentes áreas, se corresponde
con un estadio consciente.
Los tres elementos
claves de este modelo son, en primer lugar, la idea de modularidad,
tarea que implica la existencia de varias relaciones de forma inconsciente.
Este proceso se da cuando existe un conjunto de procesadores interconectados
especializados, que pueden realizar cada una de las operaciones. Por ejemplo en
la comparación de números, cuando se genera una cadena de operaciones con
identificación, cantidad, comparación y programación motora, que pueden
realizar la tarea de forma inconsciente.
La segunda hipótesis
es la aparente no modularidad de la mente consciente. Así, tenemos un
sistema neuronal distribuido con actividad a larga distancia –espacio de
trabajo consciente– que puede conectar múltiples procesos especializados de
forma coordinada pero variable.
Y el otro elemento
clave es la amplificación atencional y la movilización dinámica. En la
medida que una información se hace consciente, si la población neuronal
correspondiente, en lugar de comunicarse en cadena lo hace a través de una
amplificación atencional (de arriba abajo), es lo que se llama estado de la
actividad coherente que sucede a nivel neuronal. Estos procesadores sólo
necesitan conexiones locales y no a largo plazo. Los mismos procesadores, por
otra parte, deben tener un esquema de conectividad muy diferente al nivel más
alto; son neuronas que pertenecen al espacio de trabajo y tienen que ser
capaces de relacionarse con otros «vecinos», aunque no sean vecinos corticales.
Es decir, tienen que tener una interconectividad a larga distancia.
El reconocimiento y
la producción de palabras habladas activan una pequeña área lateral izquierda.
Esta área está implicada en la identificación visual y muestra el aspecto que
tiene una letra, es decir, la representación. Llegados a este punto se plantean
dos cuestiones: ¿podría ser que este proceso se activara de forma inconsciente?
y ¿se podría movilizar si activamos la atención?
La transición de
inconsciente a consciente se caracteriza por la amplificación de la actividad,
que debe incluir las áreas frontales. Disponemos de una importante
amplificación y también de conexión en las áreas distantes, que permiten que la
información esté disponible rápidamente en los sistemas que informan sobre la
presencia de la palabra. En nuestro trabajo comparamos entre consciencia e
inconsciencia y obtuvimos diferencias mínimas, pero siempre observamos una
activación focal que, en ocasiones, es intensa pero encapsulada en un
encadenamiento de procesos que rompe la modularidad y que nos permite el acceso
a la información.
En relación al nivel
de especificidad de la representación cuantitativa, sabemos que el lóbulo
parietal participa en muchas tareas, la mayoría de las cuales influyen en el
entorno en que nos movemos. Para estudiar el tema de la especificidad
realizamos un trabajo con los mismos sujetos, y algunas de las cuestiones
planteadas eran si podían llevar a cabo las mismas tareas numéricas y no
numéricas y si había alguna especificidad en el lóbulo parietal.
Los resultados más
significativos que obtuvimos mostraban una serie de activaciones en la pared
parietal y en un área que sólo se activó durante el cálculo y no durante las
otras tareas. Es interesante destacar que existe superposición entre cálculo y
lenguaje. Y también observamos que el sistema de áreas en tareas de cálculo y
lenguaje tiene una subespecialización; hay un componente muy especializado de
alto nivel.
Respecto a la
naturaleza de la representación numérica, nos planteamos si ésta es innata o
no. En este sentido nos encontramos con algo muy intrigante: todos activamos
las mismas áreas del cerebro. Estudios realizados en otros países demuestran
que la lesión en un área conduce a la acalculia, situación por la que, según
los neurólogos, el paciente no puede calcular. Pero algunos trabajos de ámbito
internacional demuestran que los pacientes no sólo están limitados en el
cálculo, sino también en la comparación numérica o en la operación.
En algunos trabajos
empleamos la técnica de relación de diferentes actividades en niños de cuatro
años, técnica basada en la aplicación de electrodos con amplificación de la
señal electrónica. Así, se presentaban a los niños una serie de números en
imágenes para comprobar si el niño observaba cifras diferentes. Comprobamos que
existen estímulos potenciales que diferencian unas cifras de otras. Algo
similar se realizó en el caso de las palabras, pero en este caso con sílabas, y
observamos que el cerebro también responde a la novedad. Se trata de la
evidencia más fuerte en este sistema supramodal abstracto. Averiguamos que hay
una respuesta precoz en la que existe divergencia en la región frontal, es
decir, el sistema auditivo espera un tono determinado que no le llega. En todos
estos casos hay una respuesta de novedad a la cifra que se presenta como nueva,
por lo que tenemos una activación en forma de negatividad a la izquierda y
derecha en la región parietal.
Cuando estudiamos
estos potenciales de registro en los adultos, cuyas regiones son parecidas a
las de los niños, observamos que hay negatividad en las regiones
occipitoparietal derecha o izquierda. En todos estos casos tenemos una
respuesta de novedad a la cifra que cambia, es decir, tenemos una activación en
forma de negatividad a la derecha e izquierda de la región parietal. Se trata
de un sistema abstracto crossmodal que se preocupa no por la
especificidad de los parámetros presentados sino por el hecho de que sea una
actividad igual o diferente.
Hemos intentado
describir qué sucede cuando aprendemos los símbolos a partir de una
representación cuantitativa. Quisiera argumentar que esta representación no
verbal es bastante imprecisa. Lo que en realidad se están representando son
unas cifras aproximadas. Podemos distinguir 1 frente a 2, 2 frente a 3, pero
quizás no 3 frente a 4, o 4 frente a 5. En estos casos, lo que podemos hacer es
una distinción aproximada de 4 frente a 8 o de 8 frente a 16. Utilizando estas
representaciones obtenemos un cálculo eficaz a través del almacenamiento de los
hechos exactos que se basan en el lenguaje.
Éste es un aspecto
que el lenguaje aporta a los cálculos aritméticos, lo que denominamos modelo de
triple codificación del procesado de números. Esta representación cuantitativa,
que todos poseemos, tiene acceso a dos representaciones de un número: la forma
verbal o el código verbal, basado en el área del lenguaje, y el código del formato
visual o la palabra escrita. En cualquiera de los casos tenemos un constante ir
y venir en el cerebro del adulto entre la magnitud de palabras y de formas
visuales de estos símbolos / cifras. Utilizamos diferentes códigos para las
diferentes funciones y, en particular, usamos la representación de la magnitud
cuando tenemos que comparar dos cifras y decidir cuál es la que más se aproxima
o se aleja. Es decir, lo que hacemos es una aproximación.
La argumentación es
que empleamos el código verbal en situaciones en las que tenemos que hacer
cálculos exactos y, especialmente, cuando utilizamos tablas aritméticas, por
ejemplo cuando sabemos que 9 x 3 es igual a 27. Para llegar aquí hemos
realizado un contraste sencillo entre cálculo exacto y experimental. Por ejemplo,
en el caso de la suma de 4 + 5 nos ofrecen la opción entre 9 o el 7. Éste es un
modelo de cálculo exacto porque el elemento de distracción es el número 7,
bastante próximo al 9. Con la misma operación, pero en la opción de 8 y 3, se
rechaza de forma inmediata el 3 porque está lejos de la realidad. Esto
demuestra que es suficiente crear una situación de aproximación en la que se
hace un cálculo en base al sentido de la cantidad. En algunos de nuestros
trabajos de investigación, cuando visualizamos esta tarea en el escáner, vemos
que se activan circuitos muy diferentes en los casos de aproximación y de
cálculo exacto.
Los flujos
interparietales en la parte intermedia se activan mucho más cuando los sujetos
hacen un cálculo aproximado, cuantitativo. En la misma zona, y solapándose, se
genera una activación al cálculo exacto, que se activa conjuntamente con el
cálculo y el lenguaje. Ésta es un área en la que se supone un acceso a un
código lingüístico, que es muy útil para el cálculo exacto pero no para el
aproximado. Únicamente existen dos tipos diferentes de cálculo que activan
diferentes respuestas. Los dos circuitos colaboran, actúan a la vez, por lo que
podemos afirmar que no se trata de circuitos disociados. Es de suponer que la
mayoría del tiempo, cuando se piensa en números, los dos sistemas están
coactivados. La idea es la colaboración del sistema verbal con el sistema
semántico y en algunos de nuestros estudios se demuestra que en cálculos de
cifras superiores, el sistema cuantitativo está presente y se activa en
paralelo con el sistema del lenguaje.
Hemos realizado
pruebas de cálculo en un paciente con una lesión cerebral al que le enseñamos
la operación de restar 4 – 2 en cifras. Le pedimos que nos leyera el problema
matemático y que nos diera la solución. Tenía problemas para leer los números
(leyó 4 – 3), pensó la solución y dijo 2. Le mostramos la resta 8 – 7, que leyó
como 6 – 4, pero nos dio como respuesta el 1. Le mostramos otras restas de la
misma naturaleza, ya que el patrón de la lectura es muy importante, y repetía
el mismo error de forma reiterada. Esta operación nos demuestra que el paciente
no tiene acceso a las etiquetas y palabras del problema pero, en cambio, sí
tiene acceso a la solución, que incluso puede expresar en letras.
Su lesión clásica es
la alexia, que incapacita para leer palabras o cifras de dos dígitos. El
sistema verbal funciona bien pero hay una destrucción en el acceso. El paciente
no dispone del sistema que le permite identificar las palabras, por lo que no
puede llegar a leerlas. Pero con las cifras vemos que es el hemisferio derecho
el que las identifica y en este tipo de lesión no puede leer las cifras pero
identifica la representación cuantitativa en el hemisferio derecho y la
transmite al otro hemisferio. Este hecho no ocurre cuando se realizan otras
operaciones matemáticas como restas o multiplicaciones.
Disponemos de estos
sistemas en el cerebro y no somos conscientes de la interacción que existe
entre los tres códigos o partes. Únicamente somos conscientes de las
disociaciones cuando existe una lesión que altera todo el sistema y por la que
el flujo de información se ve modificado. La conclusión a la que quisiera
llegar con estos casos experimentales es que el sistema de matemáticas es una
especie de patchwork en el que existe una interacción en el
cerebro que complementa unos aspectos con otros. Sería imposible para un animal
sin lenguaje llegar a este tipo de conclusión. Una operación de multiplicación
es posible porque tenemos símbolos para acceder a unos significados precisos de
cantidades.
Entre algunas
reflexiones finales me gustaría anotar que los cimientos de las matemáticas se
basan en el análisis final en base a unas intuiciones de espacio, tiempo y
número. Si miramos, como haremos en el futuro, cuáles son los conceptos de
espacio y tiempo, veremos que hay una organización similar con representaciones
no verbales que dan apoyo a estos cimientos matemáticos. Todo esto se sigue en
unos circuitos cerebrales muy especializados que se hallan en estadios
prematuros del ser humano. El lenguaje complementa estos circuitos no verbales,
que permite referirnos a unos conceptos precisos, discretos. Es lo que hacemos
cuando generamos una manipulación de conceptos matemáticos.
Y, por último,
destacar que el énfasis en la base cerebral de las matemáticas no implica una
forma ingenua de reducción, sino que las capacidades del adulto y todo lo que
se refiere a la activación cerebral es el resultado tanto de una arquitectura
innata como de una educación. No se trata de oponer el cerebro a la educación,
lo que estamos viendo es el resultado de ambas limitaciones arquitecturales. El
resultado de la educación permite una conexión entre ambas representaciones.
En este sentido, no
creo que tengamos que actuar de forma pasiva cuando vemos este tipo de
problemas. Algunos investigadores creen que al hablar del cerebro estamos
hablando de una biología rígida que nos limita a los adultos, pero los límites
del cerebro no están claros. Hay mucha plasticidad en el cerebro y queda la
esperanza de que, con una mejor comprensión del desarrollo neurológico, podamos
desarrollar mejoras estratégicas de rehabilitación para estas lesiones. Si
entendemos los pasos y conexiones podremos alcanzar otros pasos y conexiones
que compensen estas disfunciones.
1 Dehaene, S.; Naccache, L.; Cohen, L.; Le Bihan, D.;
Mangin, J.-F.; Poline, J.-B.; Riviere, D. : «Cerebral mechanisms of word masking and unconscious repetition
priming», Neuroscience (Nature) 2001; 4, nº 7 (julio).
Stanislas
Dehaene es investigador del Institut National de la Santé et de la Recherche
Medicale (INSERM), en París, y ha realizado estudios de cognición
neuropsicológica del lenguaje y los números como procesos del cerebro humano.
Su trabajo se ha centrado en las bases neurofisiológicas y psicológicas de la
conciencia y, en particular, en la representación consciente del número. Es autor, entre otras publicaciones, de The number sense: how
mathematical knowledge is embedded in our brains.